A4를 반으로 접어도 비슷한 모양인 이유

A4 종이의 긴 쪽을 절반으로 접어 보자. 작아졌지만 원래 종이와 꽤 비슷한 모양이 된다. 길쭉한 직사각형이 갑자기 정사각형이 되지는 않는다. 평소에는 지나쳤을 성질이다.

가로와 세로가 아무 비율이나 된다면 이런 모습이 늘 나오지는 않는다. A 계열 종이는 크기를 줄이면서도 비슷한 모양이 이어지도록 생각해 볼 수 있는 좋은 예다.

01. 숫자로 한 번 확인하기

W3C의 용지 규격 설명은 A4를 210 곱하기 297밀리미터, A5를 148 곱하기 210밀리미터로 제시한다. A4의 긴 변을 반으로 하면 148.5밀리미터다. 정해진 A5의 수치와는 반 밀리미터 차이가 있다.

따라서 실제 종이를 자르면 정식 A5와 한 치도 다르지 않다고 말할 수는 없다. 다만 두 규격을 나란히 보면 긴 변과 짧은 변의 비율이 매우 비슷하다는 것은 확인할 수 있다.

02. 반으로 나누어도 같은 비율

이상적인 비율에서 짧은 변을 1이라고 하면 긴 변은 약 1.414가 된다. 긴 변을 반으로 나눈 뒤 종이를 돌려 놓으면 작은 종이도 원래와 같은 비율을 갖는다. 숫자는 직접 나누어 확인할 수 있다.

이 비율은 제곱근 2라고 부른다. 이름을 외우지 않아도 괜찮다. 반으로 줄인 다음 돌려 보아도 모양이 이어진다는 장면을 먼저 떠올리면 수학의 역할이 한결 구체적으로 보인다.

03. 반으로 나눈 뒤에는 긴 쪽이 바뀐다

직사각형의 긴 변을 반으로 자르면 한 조각의 변은 원래 짧은 변과 긴 변의 절반이 된다. 작은 종이를 돌려 보면 어느 쪽이 긴지의 역할이 바뀐다는 점이 중요하다. 같은 모양이 되려면 새 긴 변과 새 짧은 변의 비율이 처음과 맞아야 한다. 단순히 넓이가 반이 되는 것만으로는 충분하지 않다.

예를 들어 짧은 변을 10, 긴 변을 약 14.14라고 생각해 보자. 긴 변의 절반은 약 7.07이고 조각은 10과 7.07의 두 변을 가진다. 돌려 놓은 뒤의 비율도 약 1.414다. 실제 종이의 치수가 아니라 비율을 보기 위해 고른 숫자다. 간단한 나눗셈으로 왜 모양이 닮아 보이는지 확인할 수 있다.

04. 같은 모양이라는 말과 같은 크기라는 말

닮은 직사각형은 변의 비율이 같아도 실제 크기는 다를 수 있다. A4와 반으로 나눈 조각은 당연히 같은 넓이가 아니다. 여기서 유지하려는 것은 모양의 관계다. 수학에서 비율을 읽는 일이 실제 물건의 크기를 지우는 것이 아니라 무엇이 같고 무엇이 달라졌는지 나누는 도구가 된다.

사진이나 문서를 확대할 때도 가로와 세로의 관계를 함께 유지하면 모양이 찌그러지지 않는다. 이것은 용지의 비율을 이해하는 데 도움이 되는 비교다. 다만 모든 인쇄 프로그램이 같은 여백과 배치를 보장한다는 뜻은 아니다. 종이의 기하학적인 성질과 실제 출력 설정은 서로 다른 조건이다.

05. 이상적인 수와 밀리미터 표기는 다를 수 있다

제곱근 2는 정확한 관계를 나타내지만 실제 규격은 밀리미터 단위의 정수로 적힌다. A4의 297을 반으로 한 148.5와 A5의 148 사이의 차이는 이런 실제 표기를 생각하게 한다. 이 차이가 있다고 설계의 아이디어가 무너지는 것은 아니다. 이상적인 비율과 쓰는 규격의 숫자를 구분하면 두 설명을 함께 읽을 수 있다.

따라서 A4를 접으면 정식 A5와 언제나 완전히 같다고 말하기보다 비율이 매우 가깝다고 설명하는 편이 정확하다. 이 글에서는 공개된 치수로 직접 나누어 그 관계를 살폈다. 별도의 종이를 실측해 모든 제조 오차를 확인한 것은 아니다. 규격에 관한 설명과 실제 한 장의 측정은 질문이 다르다.

06. 익숙한 종이에 들어 있는 약속

용지 이름은 매일 쓰다 보면 자연물의 이름처럼 느껴진다. 그러나 치수와 비율을 정하면 문서와 보관, 복사와 배치가 공통의 조건을 갖게 된다. 크기 체계가 있다는 사실은 사람들이 서로 다른 곳에서 비슷한 종이를 알아보고 사용할 수 있게 한다. 종이 한 장에도 규격을 통한 합의가 들어 있는 셈이다.

다음에 종이를 반으로 접을 때에는 어느 변이 짧아졌고 돌려 놓으면 어떤 모양인지 잠깐 살펴보자. 기하학을 공부하려고 별도의 교구를 찾지 않아도 손안에서 비율의 질문이 생긴다. 중요한 것은 긴 숫자를 외우는 것보다 무엇을 반으로 나누고 무엇을 같게 유지하려 했는지 보는 일이다. 평범한 종이가 수학의 작은 실험장이 된다.

07. 크기는 바뀌고 모양은 이어지고

함께 실은 설명도는 실제 A4 치수와 그 절반을 나란히 비교한다. 정식 A5의 길이도 따로 표시해 이상적인 비율과 실제 규격의 작은 차이를 구분했다.

종이 한 장은 특별한 도구가 없어도 관찰할 수 있다. 다음에 복사용지를 접을 때 작아진 종이를 원래 것 옆에 놓아 보자. 일상에서 자주 쓰는 물건의 크기에도, 줄이고 이어 쓰기 좋은 관계를 찾으려는 생각이 들어 있다.